اشتقاق دالة متكاملة

تكاملات معينة كدالة في الحد الأعلى

يمكن $\mathit{F}(\mathit{x})$ واحد في الفترة $[\mathit{أ},\mathit{ب}]$ وظيفة قابلة للتكامل. ثم يوجد التكامل المحدد

$$\underset{\mathit{أ}}{\overset{\mathit{x}}{\int }}\mathit{F}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}$$

لكل $\mathit{x}\in [\mathit{أ},\mathit{ب}]$، وهذا يعني أن هذا التكامل المعين هو دالة $\mathit{أنا.}$ من حده الأعلى $\mathit{x}$:

$$\mathit{أنا.}(\mathit{x})=\underset{\mathit{أ}}{\overset{\mathit{x}}{\int }}\mathit{F}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}=\mathit{F.}(\mathit{x})-\mathit{F.}(\mathit{أ}).$$

واحد يدل $\mathit{أنا.}(\mathit{x})$ كوظيفة متكاملة.

مشتق دالة متكاملة

دعنا نعيد إنشاء المشتق الأول $\mathit{x}$ من عند $\mathit{أنا.}(\mathit{x})$لذلك نحصل عليه

$$\frac{\text{د}\mathit{أنا.}(\mathit{x})}{\text{د}\mathit{x}}=\frac{\text{د}}{\text{د}\mathit{x}}\underset{\mathit{أ}}{\overset{\mathit{x}}{\int }}\mathit{F}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}=\frac{\text{د}\mathit{F.}(\mathit{x})}{\text{د}\mathit{x}}-\frac{\text{د}\mathit{F.}(\mathit{أ})}{\text{د}\mathit{x}}=\frac{\text{د}\mathit{F.}(\mathit{x})}{\text{د}\mathit{x}},$$

هناك $\mathit{F.}(\mathit{أ})$ ثابت. لكن المشتق العكسي $\mathit{F.}(\mathit{x})$ هو مضاد مشتق $\mathit{F}(\mathit{x})$بمعنى آخر.

$$\frac{\text{د}\mathit{F.}(\mathit{x})}{\text{د}\mathit{x}}=\mathit{F}(\mathit{x}),$$

بحيث يتبع ذلك

نظرية

$$\frac{\text{د}}{\text{د}\mathit{x}}\underset{\mathit{أ}}{\overset{\mathit{x}}{\int }}\mathit{F}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}=\mathit{F}(\mathit{x}).$$

هذا يعني أن مشتق التكامل وفقًا للحد الأعلى له مطابق لقيمة التكامل عند الحد الأعلى. توضح هذه النتيجة العلاقة الأساسية بين حساب التفاضل والتكامل.

• دليل

من هذا يمكن أن نرى أن العملية يتم إجراؤها على وسيطة $\mathit{F}(\mathit{x})$هذا عن طريق التهجئة

$$\frac{\text{د}}{\text{د}{\mathit{x}}_1}\underset{\mathit{أ}}{\overset{{\mathit{x}}_1}{\int }}\mathit{F}(\mathit{x})\text{د}\mathit{x}$$

يرمز ، مرة أخرى الحجة $\mathit{F}(\mathit{x})$ النتائج.

بالتساوي

$$\frac{\text{د}}{\text{د}{\mathit{x}}_1}\underset{{\mathit{x}}_1}{\overset{\mathit{ب}}{\int }}\mathit{F}(\mathit{x})\text{د}\mathit{x}=-\frac{\text{د}}{\text{د}{\mathit{x}}_1}\underset{\mathit{ب}}{\overset{{\mathit{x}}_1}{\int }}\mathit{F}(\mathit{x})\text{د}\mathit{x}=-\mathit{F}(\mathit{x}).$$

مثال

يمكن $\mathit{F}(\mathit{x})=كوس(\mathit{x})$. من جدول مضادات المشتقات هو المشتق العكسي $\mathit{F.}(\mathit{x})=الخطيئة(\mathit{x})$.

$$\begin{array}{rcl}\underset{\mathit{أ}}{\overset{\mathit{x}}{\int }}كوس(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}& =& الخطيئة(\mathit{x})-الخطيئة(\mathit{أ})\\ \frac{\text{د}}{\text{د}\mathit{x}}\underset{\mathit{أ}}{\overset{\mathit{x}}{\int }}كوس(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}& =& \frac{\text{د}}{\text{د}\mathit{x}}\left(الخطيئة(\mathit{x})-الخطيئة(\mathit{أ})\right)\\ & =& كوس(\mathit{x})\end{array}$$

تعميم

في الحالة العامة ، نعتبر التكامل دالة في حديه العلوي والسفلي ، أي دالة من متغيرين:

$$\mathit{أنا.}(\mathit{ش},\mathit{الخامس})=\underset{\mathit{ش}(\mathit{x})}{\overset{\mathit{الخامس}(\mathit{x})}{\int }}\mathit{F}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}.$$

بسبب حكم السلسلة

$$\frac{\text{د}\mathit{أنا.}}{\text{د}\mathit{x}}=\frac{\partial \mathit{أنا.}}{\partial \mathit{ش}}\cdot \frac{\text{د}\mathit{ش}}{\text{د}\mathit{x}}+\frac{\partial \mathit{أنا.}}{\partial \mathit{الخامس}}\cdot \frac{\text{د}\mathit{الخامس}}{\text{د}\mathit{x}}=-\mathit{F}(\mathit{ش})\cdot \frac{\text{د}\mathit{ش}}{\text{د}\mathit{x}}+\mathit{F}(\mathit{الخامس})\cdot \frac{\text{د}\mathit{الخامس}}{\text{د}\mathit{x}},$$

مما يلي:

نظرية

$$\frac{\text{د}}{\text{د}\mathit{x}}\underset{\mathit{ش}(\mathit{x})}{\overset{\mathit{الخامس}(\mathit{x})}{\int }}\mathit{F}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}=\mathit{F}(\mathit{الخامس})\cdot \frac{\text{د}\mathit{الخامس}}{\text{د}\mathit{x}}-\mathit{F}(\mathit{ش})\cdot \frac{\text{د}\mathit{ش}}{\text{د}\mathit{x}}.$$

فيديو: Derivatives of Exponential Functions (أغسطس 2022).